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Cette page propose quelques explications et simulations entièrement basées sur l'article The Chemical Basis of Morphogenesis, publié par Alan TuringL'un des pères fondateurs de l'informatique, principalement connu pour ses travaux fondamentaux sur la calculabilité. en 1952.

L'article original nécessite un niveau L2 en mathématique pour être lu dans son intégralité, mais peut être abordé plus tôt quitte à sauter les sections les plus techniques. On peut le trouver à l'adresse suivante:

http://dna.caltech.edu/courses/cs191/paperscs191/turing.pdf

Morphogénèse et brisure de symétrie

Cet article débute par des expériences de pensée au tour de la brisure de symétrie - appliquées à la biologie.

Imaginons un système biologique, présentant initialement une symétrie - par exemple cylindrique. On peut penser à une forme de tige, où les concentrations en différents réactifs en un point $(r,\theta,z)$ ne dépendent que de la distance $r$ au centre de la tige et de la cote $z$ , mais pas de l'azimut $\theta$.

Les lois de la physique et de la chimie étant invariantes par rotation (c'est-à-dire ne dépendant pas du $\theta$ où on les applique), comment se fait-il que puissent apparaitre une brisure de symétrie, i.e. des phénomènes dépendant de $\theta$ ? Par exemple des départs de tiges exactement opposés sur la tige initiale, où encore l'apparition d'une fleur présentant une symétrie pentaradiée ou hexaradiée ?

Dans la réalité, les concentrations des différents réactifs seront sujets à de petites fluctuations statistiques. En moyenne, leur répartition ne dépendra pas de $\theta$, mais en réalité, elle en dépendra très légèrement.

Turing imagine alors un modèle très simple, probablement peu réaliste, mais qui montre la faisabilité d'une rupture de symétrie à partir de briques élémentaires que l'on peut retrouver dans tout système biologique. Il montre alors par une étude mathématique que la symétrie peut se briser dans ce type de système, et que l'on peut voir apparaitre des motifs - par exemple 4 ou 5 pics de concentration de $X$, répartis de façon régulière sur l'anneau de cellules. On peut alors imaginer la naissance de pétales ou d'autres structures à partir des zones où la concentration de $X$ est importante.

Quelques simulations numériques sont également présentées - confortant les résultats - dans la mesure des possibilités des calculateurs de l'époque (1952 pour rappel !).

Les applications ci-dessous permettent de reproduire ces simulations.

Anneau de cellules

C'est le modèle principalement étudié par Turing. On simule ici les réactions décrites au début de la section 10 de l'article.

Le système est au départ dans une situation d'équilibre stable, où les concentrations de $X$ et $Y$ sont égales dans toutes les cellules, aux fluctuations statistiques près. Il y a également un catalyseur, dont la concentration est contrôlée par un paramètre $\gamma$, dont l'augmentation déclenche les réactions qui mènent à la rupture de symétrie. $\gamma$ revient ensuite à son niveau initial - et l'on observe alors que le système est à nouveau dans un état d'équilibre stable, mais avec une symétrie tetraradiée ou pentaradiée.
Les graphes verts et bleus donnent respectivement les concentrations de $X$ et de $Y$ dans les cellules à tout moment. Le code couleur sur les cellules elles-même permet également de visualiser cela (une cellule est d'autant plus sombre que la concentration de $X$ domine celle de $Y$).




Vous pouvez décocher la case «fluctuations statistiques». Dans ce cas, les concentrations de $X$ et de $Y$ sont parfaitement égales au début de la simulation - ce qui n'est pas réaliste. Les règles régissant l'évolution du système étant invariantes par rotation, les concentrations restent alors toujours identiques d'une cellule à l'autre.

Plan de cellules

Ce second simulateur reprend les mêmes équations que ci-dessus, mais cette fois-ci, les cellules forment un carré (reproduit périodiquement dans les deux dimensions).

On voit apparaitre des motifs de différents types - vous pouvez par exemple essayer de mettre le paramètre de diffusion de $Y$ à 0.55, 0.4 ou 0.3. Selon la puissance de votre machine, vous pouvez essayer d'augmenter le nombre de cellules.







Le modèle imaginé par Turing permet bien, à partir de lois simples, de faire apparaitre des ruptures de symétries à partir d'un système au départ homogène (aux fluctuations statistiques près).