Les séries de Fourier sont un outil fondamental en analyse
du signal, dont les extensions trouvent des applications
dans de très nombreux domaines de la physique
(historiquement : les cordes vibrantes, et l'équation de la
chaleur). Il y a également de nombreuses applications
mathématiques (théorèmes d'approximation de fonctions,
calculs de sommes de séries...).
L'idée fondamentale des séries de Fourier est de tenter
d'approcher une fonction périodique quelconque par une somme
de fonctions sinusoïdales. Le simulateur ci-dessous permet
de visualiser quelques exemples de telles approximations (d'autant plus précises que l'ordre augmente).
Ci-dessous, quelques définitions et résultats théoriques sur
les séries de Fourier - dont les démonstrations sont
généralement traités au moins en L2 (on a besoin d'espace
hilbertiens et de séries de fonctions pour les aborder).
Analyse
On considère une fonction $f$ $T$-périodique (correspondant
donc à un signal de fréquence $1/T$). On note
$a_0 = \frac{1}{T}\int_0^T f(t)dt$
Et pour tout $n\geq 1$,
$a_n = \frac{2}{T}\int_0^T f(t)\cos(2\pi nt /T)$
$b_n = \frac{2}{T}\int_0^T f(t)\sin(2\pi nt /T)$
$a_0$ est la valeur moyenne de $f$. Pour tout $n\geq
1$, $t \mapsto a_n\cos(2\pi nt /T)+b_n\sin(2\pi nt /T)$ - qui
est un signal sinusoïdal de fréquence $n/T$ - correspond à
«la composante de fréquence $n/T$» du signal $f$. On
l'appelle $n$ème harmonique de $f$.
Pour comprendre un peu cela, regardons le cas où $f$ est une
somme finie de signaux sinusoïdaux de la forme
$f(t)=\sum_{n=1}^{N}(c_n\cos(2\pi nt/T)+d_n\sin(2\pi
nt/T))$. Un calculLa clef est la constation que $\frac{2}{T}\int_0^T \cos(2\pi pt /T)\cos(2\pi nt /T)$ vaut 1 si $n = p$, et $0$ sinon, et de même en remplaçant l'un et/ou l'autre des $\cos$ par $\sin$. Il s'agit d'une notion d'orthogonalité - le cadre naturel pour la décrire étant celui des espaces hilbertiens : les $t\mapsto \cos(2\pi pt /T)$ et $t\mapsto \sin(2\pi pt /T)$ forment une famille orthonormale, et engendrent des espaces sur lesquels on projette la fonction $f$. Les coefficients de Fourier correspondent en fait aux produits scalaires de $f$ avec ces vecteurs. montre alors que pour tout $n\in[1,N]$, $a_n=c_n$
et $b_n=d_n$. $a_n$ et $b_n$ correspondent donc bien dans ce
cas à la composante de fréquence $n/T$ de $f$. On a de plus
$f(t)=\sum_{n=1}^{N}(a_n\cos(2\pi nt/T)+b_n\sin(2\pi nt/T))$
: on peut reconstituer le signal à partir de ces
harmoniques. Cela sera partiellement généralisé dans la
section «synthèse».
Sur le simulateur ci-dessus, le diagramme en bâton
représente les $\sqrt{a_n^2+b_n^2}$, qui sont des mesures de
l'amplitude de ces composantes. Si vous testez avec
$\cos(4x-\pi/4)$, vous verrez dont apparaitre une unique
harmonique correspondant à $n=4$.
Synthèse
On peut résumer la synthèse de la façon suivante:
un signal quelconque peut-il être reconstitué à partir
de ses harmoniques, i.e. a-t-on, pour tout $t\in[0, T]$,
$f(t)=a_0+\sum_{n=1}^{+\infty}a_n\cos(2\pi nt
/T)+b_n\sin(2\pi nt /T)$.
Dans le simulateur, la courbe représentée en pointillés est
celle de $t\mapsto a_0+\sum_{n=1}^{N}a_n\cos(2\pi nt
/T)+b_n\sin(2\pi nt /T)$, où $N$ est l'ordre choisi.
Généralement, la convergence est d'autant «meilleure» (et
d'autant plus rapide) que la fonction $f$ est régulière - ce
qui est en partie lié à la vitesse à laquelle les
coefficient $a_n$ et $b_n$ tendent vers 0. Comparer par
exemple les trois fonctions «quelconques» du simulateur.
Voici deux résultats dans ce sens.
Théorème de convergence uniforme de Dirichlet Si
$f$ est une fonction de classe $\mathcal{C}^1$, pour
tout réel $t$,
$f(t)=a_0+\sum_{n=1}^{+\infty}a_n\cos(2\pi nt
/T)+b_n\sin(2\pi nt /T)$, et la convergence est uniforme (informellement
: la convergence a lieu dans un «même mouvement» pour
tous les $t$).
Voici un résultat plus faible:
Théorème de convergence simple de Dirichlet Si
$f$ est une continue sauf éventuellement en un nombre
fini de points (où elle est continue à droite et à
gauche), et si elle est dérivable à droite et à gauche
en chaque point où elle est continue, alors:
Pour tout $t$ où $f$ est continue,
$f(t)=a_0+\sum_{n=1}^{+\infty}a_n\cos(2\pi nt
/T)+b_n\sin(2\pi nt /T)$
Pour tout point de discontinuité $t$,
$a_0+\sum_{n=1}^{+\infty}a_n\cos(2\pi nt
/T)+b_n\sin(2\pi nt /T)$ est la moyenne entre
les limites à gauche et à droite de $f$ en $t$.
Dans ce résultat, plus faible, on perd l'uniformité de la
convergence.
En particulier, si l'on effectue une synthèse
pour une fonction discontinue, on voit apparaitre des
oscillations au voisinage des points de
discontinuité. L'amplitude de ces oscillations ne tend pas
vers 0 lorsque l'on prend en compte de plus en plus
d'harmoniques, empêchant une convergence uniforme de la
série. La discontinuité est même amplifiée.
Il s'agit du phénomène de Gibbs, qui apparait sur les
fonctions «dents de scie», «signal carré» ou «quelconque
discontinue» du simulateur.