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Séries de Fourier

Les séries de Fourier sont un outil fondamental en analyse du signal, dont les extensions trouvent des applications dans de très nombreux domaines de la physique (historiquement : les cordes vibrantes, et l'équation de la chaleur). Il y a également de nombreuses applications mathématiques (théorèmes d'approximation de fonctions, calculs de sommes de séries...).

L'idée fondamentale des séries de Fourier est de tenter d'approcher une fonction périodique quelconque par une somme de fonctions sinusoïdales. Le simulateur ci-dessous permet de visualiser quelques exemples de telles approximations (d'autant plus précises que l'ordre augmente).

Ci-dessous, quelques définitions et résultats théoriques sur les séries de Fourier - dont les démonstrations sont généralement traités au moins en L2 (on a besoin d'espace hilbertiens et de séries de fonctions pour les aborder).

Analyse

On considère une fonction $f$ $T$-périodique (correspondant donc à un signal de fréquence $1/T$). On note
Et pour tout $n\geq 1$,
$a_0$ est la valeur moyenne de $f$. Pour tout $n\geq 1$, $t \mapsto a_n\cos(2\pi nt /T)+b_n\sin(2\pi nt /T)$ - qui est un signal sinusoïdal de fréquence $n/T$ - correspond à «la composante de fréquence $n/T$» du signal $f$. On l'appelle $n$ème harmonique de $f$.

Pour comprendre un peu cela, regardons le cas où $f$ est une somme finie de signaux sinusoïdaux de la forme $f(t)=\sum_{n=1}^{N}(c_n\cos(2\pi nt/T)+d_n\sin(2\pi nt/T))$.
Un calculLa clef est la constation que $\frac{2}{T}\int_0^T \cos(2\pi pt /T)\cos(2\pi nt /T)$ vaut 1 si $n = p$, et $0$ sinon, et de même en remplaçant l'un et/ou l'autre des $\cos$ par $\sin$. Il s'agit d'une notion d'orthogonalité - le cadre naturel pour la décrire étant celui des espaces hilbertiens : les $t\mapsto \cos(2\pi pt /T)$ et $t\mapsto \sin(2\pi pt /T)$ forment une famille orthonormale, et engendrent des espaces sur lesquels on projette la fonction $f$. Les coefficients de Fourier correspondent en fait aux produits scalaires de $f$ avec ces vecteurs. montre alors que pour tout $n\in[1,N]$, $a_n=c_n$ et $b_n=d_n$. $a_n$ et $b_n$ correspondent donc bien dans ce cas à la composante de fréquence $n/T$ de $f$. On a de plus $f(t)=\sum_{n=1}^{N}(a_n\cos(2\pi nt/T)+b_n\sin(2\pi nt/T))$ : on peut reconstituer le signal à partir de ces harmoniques. Cela sera partiellement généralisé dans la section «synthèse».

Sur le simulateur ci-dessus, le diagramme en bâton représente les $\sqrt{a_n^2+b_n^2}$, qui sont des mesures de l'amplitude de ces composantes. Si vous testez avec $\cos(4x-\pi/4)$, vous verrez dont apparaitre une unique harmonique correspondant à $n=4$.

Synthèse

On peut résumer la synthèse de la façon suivante: un signal quelconque peut-il être reconstitué à partir de ses harmoniques, i.e. a-t-on, pour tout $t\in[0, T]$, $f(t)=a_0+\sum_{n=1}^{+\infty}a_n\cos(2\pi nt /T)+b_n\sin(2\pi nt /T)$.
Dans le simulateur, la courbe représentée en pointillés est celle de $t\mapsto a_0+\sum_{n=1}^{N}a_n\cos(2\pi nt /T)+b_n\sin(2\pi nt /T)$, où $N$ est l'ordre choisi.

Généralement, la convergence est d'autant «meilleure» (et d'autant plus rapide) que la fonction $f$ est régulière - ce qui est en partie lié à la vitesse à laquelle les coefficient $a_n$ et $b_n$ tendent vers 0. Comparer par exemple les trois fonctions «quelconques» du simulateur.

Voici deux résultats dans ce sens.
Théorème de convergence uniforme de Dirichlet
Si $f$ est une fonction de classe $\mathcal{C}^1$, pour tout réel $t$, $f(t)=a_0+\sum_{n=1}^{+\infty}a_n\cos(2\pi nt /T)+b_n\sin(2\pi nt /T)$, et la convergence est uniforme (informellement : la convergence a lieu dans un «même mouvement» pour tous les $t$).


Voici un résultat plus faible:
Théorème de convergence simple de Dirichlet
Si $f$ est une continue sauf éventuellement en un nombre fini de points (où elle est continue à droite et à gauche), et si elle est dérivable à droite et à gauche en chaque point où elle est continue, alors:
Dans ce résultat, plus faible, on perd l'uniformité de la convergence.

En particulier, si l'on effectue une synthèse pour une fonction discontinue, on voit apparaitre des oscillations au voisinage des points de discontinuité. L'amplitude de ces oscillations ne tend pas vers 0 lorsque l'on prend en compte de plus en plus d'harmoniques, empêchant une convergence uniforme de la série. La discontinuité est même amplifiée. Il s'agit du phénomène de Gibbs, qui apparait sur les fonctions «dents de scie», «signal carré» ou «quelconque discontinue» du simulateur.