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Simulation du probème à $N$ corps

On s'intéresse au problème des $N$ corps: il s'agit de déterminer les trajectoires de $N$ corps célestes soumis à leurs interactions gravitationnelles réciproques.
En notant $m_i$ la masse du $i$ème corps et $p_i$ sa position, une modélisation en mécanique classique du problème montre que celui-ci se reformule comme un système d'équations différentielles du second ordre: $$\forall i\in\{1 \cdots N\},\ \ p_i''=G\sum_{\substack{j=1\\j\neq i}}^{N} \frac{m_j(p_i-p_j)}{\|p_i-p_j\|^3}.$$ où $G$ est la constante gravitationnelle.

Le cas $N=2$ est résoluble explicitement, et découle sur les lois de Kepler, qui permettent par exemple de décrire (en première approximation) la trajectoire d'une planète autour du soleil.
Dès que $N=3$, hors cas très particulier, on ne peut pas trouver d'expression pour la solution exacte de ces équations, et le système est de plus chaotique.

Vous pouvez utiliser le formulaire ci-dessous pour modifier les valeurs des paramètres et des conditions initialesDonnés sans dimension.. Cliquez alors sur simulerLa méthode de Runge-Kutta d'ordre 4 est utilisée pour toutes les simulations..

Paramètres :
Nombre de corps 2 3 (a) 3 (b) 3 (c - orbite périodique en 8) 3 (d - point de Lagrange L4) 4 (a) 4 (b) 4 (c - points de Lagrange L4 et L5) 5 50 (positions aléatoires) 100 (positions aléatoires) 200 (positions aléatoires) 400 (positions aléatoires)

Dépendance aux conditions initiales
Gestion des collisions
Affichage du champs gravitationnel

Simuler Arrêter Réinitialiser

• Quelques explications informelles sur les systèmes chaotiques sont donnés sur la page suivante, traitant du pendule double.
• Lorsque l'on coche «dépendance aux conditions initiales», quatre simulations sont lancées en parallèle. Les conditions initiales sont identiques à la simulation de départ, sauf pour la position d'une des planètes qui est décalée de respectivement 1, 2 et 3 pixels. On peut ainsi observer si l'évolution du système est sensible à de petites variations sur les conditions initiales.
• Les simutations à 50 corps ou plus ne prétendent pas à un quelconque réalisme physique, mais sont là pour le plaisir des yeux.
• La gestion des collisions est élémentaire - deux corps qui se rencontrent fusionnant en un unique corps avec préservation de la quantité de mouvement.
• La page wikipedia du problème à N corps.
• A remarkable periodic solution of the three-body problem in the case of equal masses (A.Chenciner, R.Montgomery): un article récent démontrant l'existence d'une solution périodique simple au problème à trois corps (démontrée dans le simulateur).
• Voir cette page pour les points de Lagrange L4 et L5. Dans les simulations, on observe empiriquement que l'équilibre est instable car la force de Coriolois n'est pas prise en compte.