Simulation du pendule
On s'intéresse aux équations du type $\theta''+a\theta'+b\sin(\theta)=0$, où a et b sont des nombres réels. Il s'agit de l'équation décrivant le mouvement d'un modèle simple de pendule amorti - très classiquement étudié en mécanique du point. Hors cas particulier, on ne peut pas trouver d'expression pour la solution exacte de cette équation.Effectuer une simulation permet alors de comprendre un peu mieux ce système.
Vous pouvez utiliser le formulaire ci-dessous pour modifier les valeurs de a, b et les conditions initiales. Cliquez alors sur simulerLa méthode du point milieu, d'ordre 2, est utilisée pour toutes les simulations.. Il est également possible de cliquer sur le portrait de phase pour démarrer une simulation. Une solution approchée sera tracée, ainsi que son portrait de phase (avec les lignes de conservation de l'énergie).
En pointillés bleus apparait la simulation de l'équation où $\sin(\theta)$ a été remplacé par $\theta$. On constate que pour de petits angles, elle est proche de la simulation de l'équation de départ. Cela devient faux dès que l'angle augmente (entre autres, la fréquence d'oscillation du pendule n'est plus la même...).
La fenêtre d'animation permet de visualiser le résultat en mouvement.
Pour plus d'informations sur cette équation différentielle, et notamment sur les résultats théoriques que l'on peut obtenir sans remplacer (naïvement) $\sin(\theta)$ par $\theta$, voir cette page.
Il est également possible de forcer un entrainement circulaire uniforme de l'extrémité fixe de la barre, ce qui permet de faire apparaitre des phénomènes chaotiques. Cf cette page pour plus de précisions.
Conditions initiales :
Entrainement circulaire : Animation portrait de phase (plus lent):
Solution en fonction du temps
Portrait de phase
Animation
Après vous être familiarisé avec le simulateur, cliquez sur le bouton ci-dessous.
Qu'y a-t-il d'étrange ? Pouvez-vous fournir une explication ? La réponse ici...
Le portrait de phase
Le portrait de phase permet de visualiser l'évolution d'un système régi par une équation différentielle de, mais est également un outil théorique fondamental. Dans cette section, je présente l'idée sous jacente, ainsi que quelques résultats.Généralités
Partons de l'équation qui régit le comportement de notre système : $\theta''+a\theta'+b\sin(\theta)=0\ \ (E)$.On voit immédiatement que $(E)$ équivaut au système suivant: $$\left\{\begin{array} \ \theta' = v \\ v'=-av-b\sin(\theta)\end{array}\right.$$ où $v$ est simplement une nouvelle notation pour $\theta'$.
Cela peut se réécrire $(\theta, v)'=(v, -av-b\sin(\theta))$.
On a donc remplacé une équation différentielle du second ordre par une équation différentielle du premier ordre, mais portant sur le vecteur $(\theta, v)\in\mathbb{R}^2$.
L'espace dans lequel évolue ce vecteur (ici $\mathbb{R}^2$) est appelé l'espace des phases.
Une condition initiale, du type $(\theta(0),\ \theta'(0))=(t_0,\ v_0)$ se réécrit $(\theta(0),\ v(0))=(t_0,\ v_0)$ : c'est un point dans l'espace des phases.
L'évolution du système correspond à une trajectoire dans l'espace des phases, partant des conditions initiales.
À tout moment, on a $(\theta, v)'=(v, -av-b\sin(\theta))$ : si la trajectoire passe par un point de coordonnées (x,y), sa tangente y est forcément colinéaire à $(y, -ay-b\sin(x))$. Ces vecteurs sont tracés sur l'espace des phases lorsque vous lancez une simulation (sans entrainement circulaire). Cliquer sur un point de celui-ci pour démarrer une simulation, et constater la colinéarité annoncée.
Quelques résultats
Cet espace donne une bonne intuition de quelques résultats fondamentaux sur les équations différentielles.Le théorème de Cauchy-Lipschitz, affirme - sous certaines conditions assez peu restrictives - l'existence et l'unicité de la solution d'une équation différentielle munie de conditions initialesAttention, ceci n'est pas un énoncé mathématique précis !. En particulier, si l'on clique sur le même point plusieurs fois dans l'espace des phases du simulateur, on obtiendra toujours la même trajectoire, qui doit nécessairement «suivre les flêches». Ceci indique que le système est fondamentalement déterministe : si l'on connait parfaitement les conditions initiales, on connait en théorie sa trajectoire. En théorie seulement, car des phénomènes chaotiques peuvent s'en mêler...
Une autre conséquence de ce théorème est que 2 trajectoires ne se croisent jamaisElles peuvent en revanche se «recouvrir» partiellement - c'est par exemple le cas si on considère 2 fois la même trajectoire, mais avec un décalage du temps initial. dans l'espace des phases.
Le théorème de Poincaré-Bendixon est un deuxième résultat très intéressant, interprétable sur l'espace des phases. Obervez le portrait de phase dans le cas d'un coefficient de frottement $a>0$, et particulièrement une ligne iso-énergie fermée.
Au niveau de cette ligne, les flêches sont rentrantes, ce qui signifie intuitivement qu'une trajectoire ne pourra jamais s'échapper de la partie située à l'intérieur de cette ligne (physiquement, cela signifie que l'énergie du système décroit). Dans ce cas, le théorème affirme qu'il y a 2 situations possibles :
- Soit le système converge vers un point limite (c'est le cas ici).
- Soit il converge vers un cycle limite. L'exemple classique est l'oscillateur de Van der Pol - intervenant en électronique.
Et dans le cas d'un système avec entrainement circulaire ?
La différence essentielle est que les équations différentielles obtenues dépendent maintenant du temps - on dit qu'elles ne sont plus autonomesLes systèmes fermés sont généralement autonomes - ce qui traduit le fait que les lois de la physique sont les mêmes que l'on soit à un temps $t_1$ ou à un temps $t_2\neq t_1$. Dès que l'on a une interaction avec l'extérieur qui dépend du temps, on perd cette autonomie..Les flêches qui guident les trajectoires sur l'espace des phases vont donc tourner en fonction du temps, et les trajectoires deviennent par conséquent beaucoup plus difficiles à étudier. En particulier, on perd les 2 théorèmes ci-dessus, et l'on peut voir apparaitre des phénomènes chaotiques. Le simulateur vous permet de tester un peu tout cela.